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已知函数y=f(x)存在反函数,定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数,则称y=f(x)满足“a和性质”.
(1)判断函数g(x)=x2+1(x>0)是否满足“1和性质”,说明理由;
(2)求所有满足“2和性质”的一次函数.

解:(1)不是;
∵g(x)=x2+1(x>0)
∴y=g(x+1)=(x+1)2+1(x>0)
∴x+1=
∴x=
∴y=-1即
,,
与①不符故函数g(x)=x2+1(x>0)不满足“1和性质”
(2)设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx+b(k≠0)
则f(x)=

∵f(x+2)=k(x+2)+b


∴k=-1
∴f(x)=-x+b
分析:(1)根据y=f(x)满足“a和性质”的定义可先根据求反函数的步骤求出进而求出①;再根据g(x)=x2+1(x>0)求出g(x+1)=(x+1)2+1(x>0)进而求出g(x+1)的反函数即g(x+1)②然后比较①②是否相同进而可根据定义得出结论.
(2)设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx+b(k≠0)然后求出f(x)进而求出f(x+2);再根据f(x+2)求出f(x+2)然后两者相等求出k,b所满足的条件.
点评:本题主要考查了反函数的有关知识.解题的关键是要对“a和性质”理解透彻同时要对求反函数的步骤熟练(①反解求x②将x,y对调③标明反函数的定义域(即为原函数的值域))!
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