Question

4．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{x}（x＞1）}\\{{x}^{2}+1（-1≤x≤1）}\\{2x+3（x＜-1）}\end{array}\right.$
（1）求f（1-$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$）；
（2）求f（3x-1）；
（3）若f（a）=$\frac{3}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用分段函数的解析式，直接求解f（1-$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$）；
（2）结合自变量的范围，求解函数的解析式即可．
（3）利用分段函数，列出方程求解即可．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{x}（x＞1）}\\{{x}^{2}+1（-1≤x≤1）}\\{2x+3（x＜-1）}\end{array}\right.$
（1）f（1-$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$）=f（$\frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}-1}$）=2（1-$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$）+3=5-$\frac{2}{\sqrt{2}-1}$=3-2$\sqrt{2}$；
（2）f（3x-1）=$\left\{\begin{array}{l}1+\frac{1}{3x-1}（x＞\frac{2}{3}）\\{（3x-1）}^{2}+1（0≤x≤\frac{2}{3}）\\ 6x（x＜0）\end{array}\right.$；
（3）f（a）=$\frac{3}{2}$，
当a＞1时，1+$\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$，解得a=2．
当-1≤a≤1时，a²+1=$\frac{3}{2}$，解得a=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
当a＜-1时，2a+3=$\frac{3}{2}$，解得a=-$\frac{3}{4}$（舍去）．

点评 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，函数的零点，以及解析式的求法，考查计算能力．