Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，点M（2，3），N（2，-3）为C上两点，斜率为

1

2

的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧）．
（I）求四边形MANB面积的最大值；
（II）设直线AM，BM的斜率为k₁，k₂，试判断k₁+k₂是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设根据离心率椭圆的方程，把M点代入即可求得c，则椭圆的方程可得．设直线l的方程，A（x₁，y₁），B（x₂，x₂），直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂进而代入四边形形面积表达式中，根据m确定四边形的面积最大值．
（2）设直线MA、MB的方程，进而与椭圆方程联立分别求出A，B的横坐标，进而求得两点的坐标的表达式，表示出直线AB的斜率，根据斜率为

1

2

整理可得k₁+k₂=0．

解答：解：（I）e=

1

2

，设椭圆

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，代入M（2，3），得c=2，
所以椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1
设直线l的方程为y=

1

2

x+m（m∈R），A（x₁，y₁），B（x₂，x₂）
游

x2 16 + y2 12 =1 y= 1 2 x+m

，得x²+mx+m²-12=0
则x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-12
又SMANB=

1

2

|MN|•|x1-x2|=

1

2

|MN|•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

×6×

48-3m2

显然当m=0时，S_MANB=12

3

．

（II）设直线MA、MB的方程分别为y=k₁（x-2）+3（5）y=k₂（x-2）+3（k_1，2∈R）
将（5）代入（4）得：（16k₁²+12）x²+（96k₁-64k₁²）x+64k₁²-192k₁-48=0
则2x1=

64k12-192k1-48

16k12+12

∴x1=

8k12-24k1-6

4k12+3

∴A(

8k12-24k1-6

4k12+3

，

-12k12-12k1+9

4k12+3

)，同理：B(

8k22-24k2-6

4k22+3

，

-12k22-12k2+9

4k22+3

)kAB=

y1-y2

x1-x2

=

-12k12-12k1+9 4k12+3 - -12k22-12k2+9 4k22+3

8k12-24k1-6 4k12+3 - 8k22-24k2-6 4k22+3

=

1

2

化简得：k₁²=k₂²∵k₁≠k₂∴k₁=-k₂
即k₁+k₂=0为定值．

点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系．解题的关键是充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．