Question

【题目】以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立坐标系，两个坐标系取相同的单位长度．已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为

（1）求曲线的直角坐标方程

（2）设直线与曲线相交于两点，时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）45°或135°.

【解析】

（1）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，两边同乘ρ结合，即可；

（2）由直线的参数方程观察得直线过定点(1,0)，用点斜式设直线方程联立曲线C方程，用弦长公式求出弦长，列方程求出直线斜率，然后解出.

（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，

∴ρ2sin2θ＝4ρcosθ，

∵ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，

∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．

（2）∵直线l的参数方程为参数，0＜a＜π），

∴tanα＝，直线过（1，0），

设l的方程为y＝k（x﹣1），

代入曲线C：y2＝4x，消去y，

得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ，x1x2＝1，

∵|AB|＝8．

∴＝8，

解得k＝±1，

当k＝1时，α＝45°；

当k＝﹣1时，α＝135°．

∴α的值为45°或135°．