Question

【题目】已知△ABC，|AB|=8，AC与BC边所在直线的斜率之积为定值m，
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）当m=1时，过点E（0，1）的直线l与曲线C相交于P、Q两点，求P、Q两点的中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：以AB边所在直线为x轴，以AB边的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系

则A（﹣4，0），B（4，0）

设点C的坐标为（x，y），则 ，

∴ ，

即mx2﹣y2=16m

当m=0时，动点C的轨迹方程为y=0（x≠±4），

表示x轴所在直线去掉A、B两点剩下的部分

当m＞0时，动点C的轨迹方程为

表示焦点在x轴上的双曲线去掉A、B两点剩下的部

当﹣1＜m＜0时，动点C的轨迹方程为

表示焦点在x轴上的椭圆去掉A、B两点剩下的部分

当m＜﹣1时，动点C的轨迹方程为

表示焦点在y轴上的椭圆去掉A、B两点剩下的部分

当m=﹣1时，动点C的轨迹方程为 x2+y2=16（x≠±4）

表示以AB为直径的圆去掉A、B两点剩下的部分

（2）解：当m=1时，动点C的轨迹方程为 ，

当直线l的斜率不存在时，显然不可能与 有交点，舍去；

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）

联立方程组 ，

消去y得：（1﹣k2）x2﹣2kx﹣17=0

由题意得：x1、x2是此方程的解

所以 ∴

所以 ，所以得 又直线l与动点C的轨迹方程有两个不同的焦点，

则 ∴ 且 且k2≠1，∴ 或y0＜﹣16

所以P、Q两点的中点M的轨迹方程为

【解析】（1）以AB边所在直线为x轴，以AB边的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，利用AC与BC边所在直线的斜率之积为定值m，建立方程，即可求动点C的轨迹方程；（2）分类讨论，联立方程组，即可求P、Q两点的中点M的轨迹方程．