Question

【题目】已知函数f（x）= x2+lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞1时， x2+lnx＜ x3 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意知函数的定义域为{x|x＞0}，

∵f′（x）=x+ ，∴f′（x）＞0，

∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）

（2）证明：设g（x）= x3﹣ x2﹣lnx，

∴g′（x）=2x2﹣x﹣ ，

∵当x＞1时，g′（x）= ＞0，

∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，

∴g（x）＞g（1）= ＞0，

∴当x＞1时， x2+lnx＜ x3

【解析】（1）确定函数的定义域，求导函数，可得导数的正负，即可得到函数的单调区间；（2）构造函数g（x）= x3﹣ x2﹣lnx，确定g（x）在（1，+∞）上为增函数，即可证得结论．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．