Question

【题目】某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队．基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x（x∈N* ， x≤16）年末可以以（80﹣5x）万元的价格出售．
（1）写出基建公司到第x年末所得总利润y（万元）关于x（年）的函数解析式，并求其最大值；
（2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：y=22x+（80﹣5x）﹣100﹣（2+4+…+2x）=﹣20+17x﹣ x（2+2x）

=﹣x2+16x﹣20=﹣（x﹣8）2+44（x≤16，x∈N），

由二次函数的性质可得，当x=8时，ymax=44，

即有总利润的最大值为44万元

（2）解：年平均利润为 =16﹣（x+ ），设f（x）=16﹣（x+ ），x＞0，

由x+ ≥2 =4 ，当x=2 时，取得等号．

由于x为整数，且4＜2 ＜5，f（4）=16﹣（4+5）=7，f（5）=7，

即有x=4或5时，f（x）取得最大值，且为7万元．

故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机

【解析】（1）由题意可得总利润y等于总收入减去总成本（固定资产加上维护费），结合二次函数的最值求法，即可得到最大值；（2）求得年平均利润为 ，再由基本不等式，结合x为正整数，加上即可得到最大值，及对应的x的值．