Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，是的中点，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）异面直线和所成角的余弦值为，求几何体的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2

【解析】

（Ⅰ）连结交于点，连结，证出，利用线面平行的判定定理即可证出.

（Ⅱ）根据题意可求出，在中，利用余弦定理求出，由结合三棱锥的体积公式即可求解.

（Ⅰ）如图，连结交于点，连结，

因为在直三棱柱中，四边形是矩形，

所以点是的中点，

因为是的中点，

所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）因为棱柱是直三棱柱，

所以，

因为，，

所以，

因为异面直线和所成角的余弦值为.

所以，

因为，，

所以.

根据余弦定理，在中，，

可得，

因为，，所以由勾股定理可得，

因为，，，

所以平面，

同理平面，

所以

.

所以几何体的体积为2.