Question

（2011•遂宁二模）己知双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

5

=1，若直线x-my-3=0截双曲线的一支所得弦长为5．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设过双曲线C上的一点P的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点P₁、P₂，且点P分有向线段

P1P2

所成的比为λ（λ＞0），当λ=

2

3

时，求|

op1

|•|

OP2

|（O为坐标原点）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由曲线C的方程为

x2

4

-

y2

5

=1，得a=2，b=

5

，c=2，e=

3

2

，左、右焦点分别为：F₁（-3，0），F₂（3，0），故直线x-my-3=0恒过双曲线的右焦点F₂（3，0），于是直线与双曲线的右支相交，由双曲线的第二定义得：

|AF2|

|x1- a2 c |

=e，由此能求出m．
（Ⅱ）双曲线C的两条渐近线方程分别为l1：y=

5

2

x，l2：y=-

5

2

x，设P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且点P分有向线段

P1P2

所成的比为λ（λ＞0），则

y1= 5 2 x1 y2= 5 2 x2

，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

5

2

•

x1-λx2

1+λ

，由此能求出|

op1

|•|

OP2

|（O为坐标原点）的值．

解答：解：（Ⅰ）由曲线C的方程为

x2

4

-

y2

5

=1，
得a=2，b=

5

，∴c=2，e=

3

2

，
左、右焦点分别为：F₁（-3，0），F₂（3，0），
∴直线x-my-3=0恒过双曲线的右焦点F₂（3，0），
于是直线与双曲线的右支相交，
设两个交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由双曲线的第二定义得：

|AF2|

|x1- a2 c |

=e，
即|AF₂|=

3

2

(x1-

4

3

)=

3

2

x1-2．
同理，|BF2|=

3

2

x2-2，
∴|AB|=|AF₂|+|BF₂|=

3

2

(x1+x2)-4，
依题意，得

3

2

(x1+x2)-4=5，
∴x₁+x₂=6，
由直线过右焦点F₂（3，0），知x₁=x₂=3，
此时直线垂直于x轴，
∴m=0．
（Ⅱ）双曲线C的两条渐近线方程分别为l1：y=

5

2

x，l2：y=-

5

2

x，
设P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且点P分有向线段

P1P2

所成的比为λ（λ＞0），
则

y1= 5 2 x1 y2= 5 2 x2

，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

5

2

•

x1-λx2

1+λ

，
∵点P（x，y）在双曲线

x2

4

-

y2

5

=1上，
∴

(x1+λx2)2

4(1+λ)2

-

5

4

•

(x1-λx2)2

5(1+λ)2

=1，
化简，得x1x2=

(1+λ)2

λ

，
∵|

OP1

|=

x12+ 5 4 x12

=

3

2

|x1|，
同理，得|

OP2

|=

3

2

|x2|，
∴|

OP1

|•|

OP2

| =

9

4

•

(1+λ)2

λ

，（λ＞0），
当λ=

2

3

时，|

OP1

|•|

OP2

| =

9

4

•

(1+ 2 3 )2

2 3

=

75

8

．

点评：本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．