Question

设分别是椭圆的左，右焦点.

（1）若是椭圆在第一象限上一点，且，求点坐标；（5分）

（2）设过定点的直线与椭圆交于不同两点，且为锐角（其中为原点），求直线的斜率的取值范围.（7分）

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设，求点坐标,即要构建关于的两个方程，第一个方程可根据点在曲线上，点的坐标必须适合曲线的方程得到，即有，第二个方程可由通过坐标化得到，即有，联立方程组，可解得点坐标；（2）求直线的斜率的取值范围，即要构建关于的不等式，可通过为锐角，转化为不等关系，进而转化为关于的不等式，解出的取值范围.注意不要忽略，这是解析几何中常犯的错误.

试题解析：（1）依题意有，所以，设，则由得：，即，又，解得，因为是椭圆在第一象限上一点，所以. 5分

（2）设直线与椭圆交于不同两点的坐标为、，

将直线：代入，整理得： （），

则，，

因为为锐角，所以，从而

整理得：，即，解得，

且（）方程必须满足：，解得，

因此有，所以直线的斜率的取值范围为. 12分

考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.方程与不等式思想，3.设而不求的思想与等价转化思想.