Question

设关于x的方程2x²-ax-2=0的两根为α、β（α＜β），函数f(x)=

4x-a

x2+1

．
（1）求f（α）、f（β）的值；
（2）证明f（x）是[α，β]上的增函数；
（3）当α为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？

Answer 1

分析：（1）先利用根与系数的关系求出α与β的关系，然后将f（α）与f（β）中的α与β消去即可；
（2）设Φ（x）=2x²-ax-2，则当a＜x＜β时，Φ（x）＜0，利用f'（x）的符号进行判定函数的单调性即可；
（3）根据（2）可知函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，而|f（α）•f（β）|=4，则当f（β）=-f（α）=2时，f（β）-f（α）取最小值，从而得到结论．

解答：解：（1）f(α)=

-8

a2+16-a

，f(β)=

8

a2+16+a

，f(α)•f(β)=-4．
（2）设Φ（x）=2x²-ax-2，则当a＜x＜β时，Φ（x）＜0.f′(x)=

(4x-a)′(x2+1)-(4x-a)(x2+1)′

(x2+1)2

=

4(x2+1)-2x(4x-a)

(x2+1)2

=-

2(2x2-ax+2)

(x2+1)2

=-

2Φ(x)

(x2+1)2

＞0
∴函数f（x）在（α，β）上是增函数．
（3）函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，
∵|f（α）•f（β）|=4，
∴当且仅当f（β）=-f（α）=2时，f（β）-f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，此时a=0，f（β）=2．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数单调性的判定和函数最值等有关知识，同时考查了计算能力，属于中档题．