Question

设关于x的方程2x²-ax-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f(x)=

4x-a

x2+1

，且|f（α）•f（β）|=4．
（1）证明：f（x）在[α，β]上是增函数；
（2）当α为何值时，f（x）在[α，β]上的最大值与最小值之差最小？

Answer 1

分析：（1）由求导公式和法则求出f′（x）并化简，再由条件得：函数y=2x²-ax-2在[α，β]上恒小于0，利用f′（x）的符号进行判定函数的单调性即可；
（2）由韦达定理求出f（α）•f（β）的式子，并判断出符号，由（1）可知函数f（x）在[α，β]上最大值
f（β）＞0，最小值f（α）＜0，而|f（α）•f（β）|=4，则当f（β）=-f（α）=2时，f（β）-f（α）取最小值，从而得到结论．

解答：证明：（1）由题意得，f′(x)=

(4x-a)′(x2+1)-(4x-a)(x2+1)′

(x2+1)2

=

4(x2+1)-(4x-a)•2x

(x2+1)2

=

-4x2+2ax+4

(x2+1)2

=-

2(2x2-ax-2)

(x2+1)2

，
∵方程2x²-ax-2=0的两根为α，β（α＜β），
∴函数y=2x²-ax-2在[α，β]上恒小于0，
则-

2(2x2-ax-2)

(x2+1)2

在[α，β]上恒大于0，即f′（x）＞0在[α，β]上恒成立，
∴f（x）在[α，β]上是增函数；
解：（2）∵方程2x²-ax-2=0的两根为α，β（α＜β），
∴α+β=

a

2

，αβ=-1，
∴f（α）•f（β）=

4α-a

α2+1

•

4β-a

β2+1

=

4αβ-4a(α+β)+a2

α2β2+α2+β2+1

=

-4-a2

4+ a2 4

＞0，
∴由（1）知，函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，
∵|f（α）•f（β）|=4，
∴当且仅当f（β）=-f（α）=2时，f（β）-f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，
此时a=0，f（β）=2．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数单调性的判定和函数最值等有关知识，同时考查了计算能力，属于中档题．