Question

8．如图，E为矩形ABCD所在平面外一点，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）G为矩形ABCD对角线的交点，求三棱锥C-BGF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明AE⊥BC，再证AE⊥BF，由线面垂直的判定定理证明结论．
（Ⅱ）运用等体积法，先证FG⊥平面BCF，把原来的三棱锥的底换成面BCF，则高就是FG，代入体积公式求三棱锥的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF
∴AE⊥平面BCE．
（Ⅱ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，
∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，
∵G是AC中点，∴F是CE中点，且FG=$\frac{1}{2}$AE=1，
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．
∴Rt△BCE中，BF=CF=$\frac{1}{2}$CE=$\sqrt{2}$．
∴S_△CFB=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{2}$=1
∴V_C-BFG=V_G-BCF=$\frac{1}{3}$S_△CFB•FG=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明方法，利用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．