Question

设

m

=(

a-1

x-2

，2-a)，

n

=(x，

1

x-2

)，解关于x的不等式：

m

•

n

＞0．(a∈R)．

Answer 1

分析：先根据向量的数量积运算，将原不等式化为

m

•

n

=

(a-1)x

x-2

+

2-a

x-2

=

(a-1)x+2-a

x-2

＞0，再考虑转化成整式不等式求解，注意对a-1的取值合理的分类讨论．

解答：解：∵

m

•

n

=

(a-1)x

x-2

+

2-a

x-2

=

(a-1)x+2-a

x-2

＞0（2分）
（1）a=1时，原不等式?

1

x-2

＞0?x＞+2（2分）
（2）a＞1时，原不等式?

x- a-2 a-1

x-2

＞0∵

a-2

a-1

-2=

-a

a-1

＜0
∴原不等式?x＜

a-2

a-1

或x＞2（6分）
（3）a＜1时，原不等式?

x- a-2 a-1

x-2

＜0
①0＜a＜1时，

a-2

a-1

＞2原不等式?2＜x＜

a-2

a-1

（8分）
②a=0时，

a-2

a-1

=2原不等式?（x-2）²＜0的解集为φ（10分）
③a＜0时，

a-2

a-1

＜2原不等式?

a-2

a-1

＜x＜2（12分）
综上所述：当a=1时，不等式的解集为：{x|x＞2}
当a＞1时，不等式的解集为：{x|x＜

a-2

a-1

或x＞2}
当0＜a＜1时，不等式的解集为：{x|2＜x＜

a-2

a-1

}
当a=0时，不等式的解集为：φ
当a＜0时，不等式的解集为：{x|

a-2

a-1

＜x＜2}（13分）

点评：本题考查向量的数量积运算，分式不等式的解法．分式不等式一般转化为整式不等式（一元一次不等式，一元二次不等式，绝对值不等式等）求解．要求具有转化、分类讨论、计算等能力和意识．