Question

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且$\sqrt{3}$acosC=（2b-$\sqrt{3}$c）cosA．
（1）求角A的大小；
（2）求cos（$\frac{5π}{2}$-B）-2sin²$\frac{C}{2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简等式整理可得$\sqrt{3}$sinB=2sinBcosA，又sinB≠0，可求$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，结合A为内角即可求得A的值．
（Ⅱ）由三角函数恒等变换化简已知可得$\sqrt{3}$sin（B-$\frac{π}{6}$）-1，由$A=\frac{π}{6}$可求B-$\frac{π}{6}$的范围，从而可求$sin（B-\frac{π}{6}）∈（{-\frac{1}{2}，1}]$，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理可得，$\sqrt{3}sinAcosC=2sinBcosA-\sqrt{3}sinCcosA$，
从而可得，$\sqrt{3}sin（A+C）=2sinBcosA$，即$\sqrt{3}$sinB=2sinBcosA，
又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又A亦为三角形内角，因此，$A=\frac{π}{6}$．…（6分）
（Ⅱ）∵$cos（\frac{5π}{2}-B）-2{sin^2}\frac{C}{2}=sinB+cosC-1=sinB+cos（\frac{5π}{6}-B）-1$，
=$sinB+cos\frac{5π}{6}cosB+sin\frac{5π}{6}sinB-1$，
=$\frac{3}{2}sinB-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB-1=\sqrt{3}sin（B-\frac{π}{6}）-1$，
由$A=\frac{π}{6}$可知，$B∈（0，\frac{5π}{6}）$，所以$B-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}）$，从而$sin（B-\frac{π}{6}）∈（{-\frac{1}{2}，1}]$，
因此，$\sqrt{3}sin（B-\frac{π}{6}）-1∈（{-\frac{{\sqrt{3}+2}}{2}，\sqrt{3}-1}]$，
故$cos（\frac{5π}{2}-B）-2{sin^2}\frac{C}{2}$的取值范围为$（{-\frac{{\sqrt{3}+2}}{2}，\sqrt{3}-1}]$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．