Question

（理科）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，CC₁＞AC，∠ACB=90°，异面直线AC₁与BA₁所成角的大小为arccos

30

10

．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）设D为线段A₁B₁的中点，求二面角A-C₁D-A₁的大小．（结果用反三角函数表示）

Answer 1

分析：（1）欲求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，只需求出底面积和高，因为底面为直角三角形，且两条直角边都为2，所以只需求出高CC₁，利用异面直线AC₁与BA₁所成角的大小为arccos

30

10

，先借助空间向量，用CC₁的长度表示此角的余弦，再与所给的值比较，即可求出CC₁，进而求出三棱锥的体积．
（2）利用空间向量来求二面角的大小，只需求出两个半平面的法向量所成角，再结合图形判断法向量所成角是二面角还是其补角．

解答：解：（1）如图，以CA所在直线为ix轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立平面直角坐标系．
则A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（2，O，c），B₁（0，2，c），C₁（0，0，c）
∴

AC1

=（-2，0，c），

BA1

=（2，-2，c）
∴cos＜

AC1

，

BA1

＞=

AC1 • BA1

| AC1 || BA1 |

=

-4+c2

4+c2  8+c2

=

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10

∴c=4，∴CC1=4
S_{三棱柱ABC-A1B1C1}=

1

2

AC•BC•CC₁=

1

2

×2×2×4=8
（2）∵D为线段A₁B₁的中点，∴D（1，1，4）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA1⊥平面A₁B₁C₁，
∴

AA1

为平面A₁B₁C₁的法向量．

AA1

=（0，0，4）
设平面AC₁D的法向量为

n

=（x，y，z）
∵

AC1

=（-2，0，4），

AD

=（-1，1，4）
∴-2x+4z=0，-x+y+4z=0
令z=1，则x=2，y=-2，∴

n

=（2，-2，1）
cos＜

AA1

，

n

＞=

4

4 4+4+1

=

1

3

∴平平面A₁B₁C₁的法向量与平面AC₁D的法向量所成角为arccos

1

3

，
有图知，平平面A₁B₁C₁的法向量与平面AC₁D的法向量所成角即为二面角A-C₁D-A₁，
∴二面角A-C₁D-A₁的大小为arccos

1

3

．

点评：本题主要考查了在直三棱柱中求异面直线所成角，以及二面角的大小的方法，考查了学生的空间想象力，识图能力，以及计算能力．