Question

【题目】[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和圆的极坐标方程；

（2）求直线与圆的交点的极坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】分析：(1)由圆C的参数方程消去得到圆C的普通方程，之后应用极坐标与平面直角坐标之间的关系式求得圆C的极坐标方程，利用极坐标与直角坐标的关系将直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程，从而求得结果；

(2)该题有两种方法，一种是联立直线与圆的平面直角坐标方程，解方程组求得交点的坐标，之后将平面直角坐标转化为极坐标，从而求得结果，一种是联立直线与圆的极坐标方程，解方程组求得结果.

详解：（1）由得：，

所以直线的普通方程为；

因为圆的参数方程为（为参数），

所以圆的普通方程为，

即，

所以，即，

所以圆的极坐标方程为.

（2）解法一：

联立解得：或，

直线与圆的交点的直角坐标为：，，

所以直线与圆的交点的极坐标为：，.

解法二：

联立消得：

，

即，

所以，

即，

所以或，即，

所以或，

当时，

当时，

所以直线与圆的交点的极坐标为：，.