Question

18．P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上在第一象限内的一点，过P作实轴的垂线，垂足为M（10，0），又过M作圆x²+y²=a²的切线，切点为Q，若cos∠MOQ=$\frac{3}{5}$，求双曲线的方程和点P的坐标．

Answer 1

分析 连OQ，则OQ⊥MQ，cos∠MOQ=$\frac{|OQ|}{|OM|}$=$\frac{a}{10}$=$\frac{3}{5}$，可以求出a，即可求双曲线的方程和点P的坐标．

解答 解：连OQ，则OQ⊥MQ，cos∠MOQ=$\frac{|OQ|}{|OM|}$=$\frac{a}{10}$=$\frac{3}{5}$，所以a=6
所以双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
设 P（10，y₀），代入方程，得$\frac{100}{36}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}$=1，解得y₀=4，（y₀=-4舍），即P（10，4）．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．