Question

已知函数，f（x）=x²，g（x）=2eln（x＞0）（e为自然对数的底数），它们的导数分别为
f′（x）、g′（x）．
（1）当x＞0时，求证：f′（x）+g′（x）≥4；
（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）（x＞0）的单调区间及最小值．

Answer 1

解：（1）∵x＞0，f′（x）=2x，g′（x）= ，
∴f′（x）+g′（x）=2（x+ ）≥2×2 =4 ，
当且仅当x= ，即x= 时，等号成立．
∴f′（x）+g′（x）≥4 
（2）F′（x）=f′（x）﹣g′（x）=2（x﹣ ）= （x＞0），
令F′（x）=0，得x= （x=﹣ 舍），
∴当0＜x＜ 时，F′（x）＜0，F（x）在（0， ）上单调递减；
当x＞ 时，F′（x）＞0，F（x）在（ ，+∞）上单调递增．
∴当x= 时，F（x）有极小值，也是最小值，
即F（x）_min=F（ ）=e﹣2eln =0．
∴F（x）的单调递增区间为（ ，+∞），单调递减区间为（0， ），最小值为0