Question

15．设直线y=x+2a与圆C：x²+y²-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=2$\sqrt{3}$，则圆C的内接正三角形的面积为（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 圆C：x²+y²-2ay-2=0的圆心坐标为（0，a），半径为$\sqrt{{a}^{2}+2}$，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆C的内接正三角形的边长，即可求出圆C的内接正三角形的面积．

解答 解：圆C：x²+y²-2ay-2=0的圆心坐标为（0，a），半径为$\sqrt{{a}^{2}+2}$，
∵直线y=x+2a与圆C：x²+y²-2ay-2=0相交于A，B两点，且|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
即$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
解得：a²=2，
故圆的半径r=2
∴圆C的内接正三角形的边长为2$\sqrt{3}$，
∴圆C的内接正三角形的面积为3$\sqrt{3}$．
故选C．

点评 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．