Question

5．△ABC是边长为1的等边三角形，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，则下列结论正确的是（　　）

• A． |$\overrightarrow{b}$|=2
• B． $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$
• C． $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$
• D． （$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{BC}$

Answer 1

分析 由题意，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，分别与向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$共线，再根据等边三角形的性质进行判断．

解答 解：由已知，等边△ABC的边长为1，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
并且$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，∴|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2．
∴4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$，（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$=2•2•2•（-$\frac{1}{2}$）+2²=0，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{BC}$，
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算，注意三角形的内角与向量夹角的关系，属于中档题．