Question

16．在平面直角坐标系xOy中，点M到F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若在y轴右侧，曲线C上存在两点关于直线x-2y-m=0对称，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设两对称点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由条件可设AB方程为：y=-2x+t，与抛物线y²=4x消去y得关于x的一元二次方程，则△＞0①，由韦达定理可表示AB中点横坐标，代入x-2y-m=0得其纵坐标，再代入AB方程得m与t的方程，联立①即可求得m的取值范围，

解答 解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=|x|+1$，
化简得，y²=2|x|+2x．
∴点M的轨迹C的方程为y²=4x（x≥0）或y=0（x＜0）；
（Ⅱ）设两对称点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线l：x-2y-m=0垂直平分线段AB，
设AB：y=-2x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得4x²-4（t+1）x+t²=0，
则△=16（t+1）²-16t²＞0，即t＞-$\frac{1}{2}$①，
x₁+x₂=t+1，
则AB中点横坐标为$\frac{t+1}{2}$，
代入x-2y-m=0，得y=$\frac{t+1}{4}$-$\frac{1}{2}$m，
所以AB中点坐标为（$\frac{t+1}{2}$，$\frac{t+1}{4}$-$\frac{1}{2}$m），
又中点在直线AB上，
所以$\frac{t+1}{4}$-$\frac{1}{2}$m=-2•$\frac{t+1}{2}$+t，即t=2m-5，
由①得2m-5＞-$\frac{1}{2}$，
解得m＞$\frac{9}{4}$，
所以m的取值范围为：（$\frac{9}{4}$，+∞）．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查轴对称问题，本题采用“方程、不等式”法，解决本题的关键是用数学式子充分刻画条件：两点关于直线对称．