Question

1．已知函数f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）．
（1）当a=-1，b=3时，求函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值和最小值；
（2）当a=0时，是否存在正实数b，当x∈（0，e]（e是自然对数底数）时，函数f（x）的最小值是3，若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导，利用导数判断函数的单调性与函数最值即可；
（2）当b＞0时，即导函数零点：x=$\frac{1}{b}$；所以f（x）在（0，$\frac{1}{b}$）上单调递减，在（$\frac{1}{b}$，+∞）上单调递增；
再分类讨论$\frac{1}{b}$与e的关系；

解答 解：（1）由题意，f（x）=-x²+3x-lnx，定义域为：x＞0
对f（x）求导：f'（x）=-2x+3-$\frac{1}{x}$，令f'（x）=0，则有x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=1；
当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f'（x）＜0，则f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减；
当x∈（$\frac{1}{2}$，1）时，f'（x）＞0，则f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上单调递减；
所以f（x）_max=f（1）=2，f（x）_min={f（$\frac{1}{2}$），f（2）}=f（$\frac{1}{2}$）=ln2+$\frac{5}{4}$；
（2）当a=0时，f（x）=bx-lnx  （x＞0）
对f（x）求导，即f'（x）=b-$\frac{1}{x}$
当b＞0时，令f'（x）=0，即导函数零点：x=$\frac{1}{b}$；
所以f（x）在（0，$\frac{1}{b}$）上单调递减，在（$\frac{1}{b}$，+∞）上单调递增；
（i）当$\frac{1}{b}$＞e时，即：b＜$\frac{1}{e}$，f（x）在（0，e]上单调递减，此时最小值为f（e）．
由题意，f（e）=3，即：b=$\frac{3}{e}$，不合题意；
（ii）当$\frac{1}{b}$≤e时，即：b≥$\frac{1}{e}$，f（x）在（0，$\frac{1}{b}$）上递减，在（$\frac{1}{b}$，e）上递增；
此时最小值为f（b）．
由题意：f（b）=3，即：b=e²，满足题意．
综上：b=e²．

点评 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，求函数最值以及分类讨论思想的应用，属中等题．