Question

13．给出下列命题：
①函数f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）的一个对称中心为（-$\frac{5π}{12}$，0）；
②若α，β为第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，则存在实数λ，使得$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$；
④在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=40，b=20，B=25°，则△ABC必有两解．
⑤函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象．
其中正确命题的序号是①③④ （把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

分析 由f（$-\frac{5π}{12}$）=0判断①正确；举例说明②错误；由向量关系的条件判断③正确；根据边角关系，判断三角形解的个数可得④正确；由函数的图象平移说明⑤错误．

解答 解：①，∵f（$-\frac{5π}{12}$）=4cos（-2×$\frac{5π}{12}+\frac{π}{3}$）=4cos$\frac{π}{2}$=0，∴函数f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）的一个对称中心为（-$\frac{5π}{12}$，0），故①正确；
②，α=390°，β=60°，均为第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，故②错误；
③，由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，可知$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$或$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$共线反向，则存在实数λ，使得$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$，故③正确；
④，在△ABC中，由a=40，b=20，B=25°，可得asinB=40sin25°＜40sin30°=40×$\frac{1}{2}$=20，
即asinB＜b＜a，∴△ABC必有两解，故④正确；
⑤，函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到y=sin2（x+$\frac{π}{4}$）=cos2x的图象，故⑤错误．
∴正确的命题是①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的性质，考查向量关系的条件，是中档题．