Question

已知函数f(x)=

1+1nx

x

．
（1）若函数f（x）在区间(a，a+

1

3

)(a＞0)上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）知果当x≥1时，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+

2

n+1

，这里n∈N^*，（n+1）!=1×2×3×…×（n+1），e为自然对数的底数．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

1 x •x-(1+lnx)•1

x2

=-

lnx

x2

，
f′（x）＞0?lnx＜0?0＜x＜1，
f′（x）＜0?lnx＞0?x＞1，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值，
由题意，a＞0，且a＜1＜a+

1

3

，解得

2

3

＜a＜1，
所以实数a的取值范围为

2

3

＜a＜1；
（2）当x≥1时，f（x）≥

k

x+1

?

1+lnx

x

≥

k

x+1

?k≤

(x+1)(1+lnx)

x

，
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，
g′（x）=

[(x+1)(1+lnx)]′•x-(x+1)(1+lnx)

x2

=

x-lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′（x）=1-

1

x

≥0，当且仅当x=1时取等号，
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0，
因此g′（x）=

h(x)

x2

＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）_min=g（1）=2，
所以k≤2；
（3）由（2），当x≥1时，f（x）≥

2

x+1

，即

1+lnx

x

≥

2

x+1

，
从而lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

，
令x=k（k+1），k∈N₊，则有ln[k（k+1）]＞1-

2

k(k+1)

，
分别令k=1，2，3，…，n（n≥2）则有ln（1×2）＞1-

2

1×2

，ln（2×3）＞1-

2

2×3

，…，
ln[n（n-1）]＞1-

2

(n-1)n

，ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，
将这个不等式左右两端分别相加，则得，
ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]=n-2+

2

n+1

，
故1×2²×3²×…×n²（n+1）＞en-2+

2

n+1

，从而[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+

2

n+1

，
当n=1时，不等式显然成立；
所以?n∈N₊，[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+

2

n+1

；