Question

【题目】已知，．

（1）当时，证明：；

（2）已知点，点，O为坐标原点，函数，请判断：当时的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）在上零点个数为2．

【解析】

（1）不等式等价，设，计算其导函数的最值得到函数的单调区间，计算最值得到答案.

（2）计算得到函数表达式，求导，讨论，，，四种情况，根据函数单调性分别计算零点得到答案.

（1）等价于证明．

令，则．

令，则，

由，得；由，得，

∴在递减，在递增，

∴，

∴在上恒成立．

∵在递减，在递增，∴，∴．

（2）点，点，，

∴．

①当时，可知，即，又，，

∴，在单调递减．又∵，．

∴在上有一个零点．

②当时，设，则，函数单调递增，

故，故，，

∴，∴恒成立，

∴在上无零点．

③当时，∵，

∴，∴在上单调递增．

又∵，，

∴在上存在一个零点．

④当，∵，，∴恒成立，

∴在无零点．

综上，在上零点个数为2．