Question

甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在A,B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个能容纳1千克药水的药瓶,他们从A,B两个喷雾器中分别取1千克的药水,将A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A中,这样操作进行了n次后,A喷雾器中药水的浓度为a_n%,B喷雾器中药水的浓度为b_n%.
(1)证明a_n+b_n是一个常数.
(2)求a_n与a_n-1的关系式.
(3)求a_n的表达式.

Answer 1

(1)见解析   (2) a_n=a_n-1+   (3) a_n=3()ⁿ+9

【思路点拨】(1)显然不论如何操作,两种农药中含有的溶质是不变的,这是问题的实际应用.(2)建立第n-1次操作后两种药水的浓度和第n次操作后A喷雾器中药水浓度的关系式.(3)利用(1)(2)的结果求解递推数列.
解：(1)开始时,A中含有10×12%=1.2千克的农药,B中含有10×6%=0.6千克的农药,n次操作后,A中含有10×a_n%=0.1a_n千克的农药,B中含有10×b_n%=0.1b_n千克的农药,它们的和应与开始时农药的质量和相等,从而有0.1a_n+0.1b_n=1.2+0.6,所以a_n+b_n=18(常数).
(2)第n次操作后,A中10千克药水中农药的质量具有关系式:9×a_n-1+1×b_n-1=10a_n,
由(1)知b_n-1=18-a_n-1,代入化简得a_n=a_n-1+.
(3)令a_n+λ=(a_n-1+λ),利用待定系数法可求出
λ=-9,
所以a_n-9=(a_n-1-9),可知数列{a_n-9}是以a₁-9为首项,为公比的等比数列,
由a_n=a_n-1+得,a₁=×12+==11.4,
由等比数列的通项公式知:
a_n-9=(a₁-9)()^n-1=2.4()^n-1=()^n-1
=3()ⁿ,
所以a_n=3()ⁿ+9.