Question

已知函数f（x）=e^x-x
（1）求f（x）在点（0，1）处的切线方程；
（2）若F（x）=f（x）-ax²-1的导函数F′（x）在（0，2）上单调，求实数a的取值范围；
（3）对m≥0，n≥0，试比较f（m）+f（n）与mn+2的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）=e^x-1，得f′（0）=0，又f（0）=1，故切线方程为：y-1=f′（0）（x-0），即y-1=0．
（2）当F′（x）=e^x-2ax-1在[0，2]上是增函数时，有F″（x）=e^x-2a≥0在[0，2]上恒成立，即a≤

ex

2

在[0，2]上恒成立，得a≤

1

2

．当F′（x）=e^x-2ax-1在[0，2]上是减函数时，得a≥

ex

2

．综上，a∈[

e2

2

，+∞）∪（-∞，

1

2

]．
（3）结论：f（m）+f（n）≥mn+2．当a=

1

2

时，由（2）可得F″（x）=e^x-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，F（x）在[0，+∞）上是增函数，得到：f（x）≥

1

2

x²+1．从而f（m）+f（n）≥

m2+n2

2

+2≥mn+2．

解答： 解：（1）由f′（x）=e^x-1，得f′（0）=0，又f（0）=1，
故切线方程为：y-1=f′（0）（x-0），即y-1=0．
（2）当F′（x）=e^x-2ax-1在[0，2]上是增函数时，
有F″（x）=e^x-2a≥0在[0，2]上恒成立，即a≤

ex

2

在[0，2]上恒成立，
∴a≤

1

2

．
当F′（x）=e^x-2ax-1在[0，2]上是减函数时，
有F″（x）=e^x-2a≤0在[0，2]上恒成立，即a≥

ex

2

在[0，2]上恒成立，
∴a≥

ex

2

．
综上，a∈[

e2

2

，+∞）∪（-∞，

1

2

]．
（3）结论：f（m）+f（n）≥mn+2．
当a=

1

2

时，由（2）可得F″（x）=e^x-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴F′（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴F′（x）≥F′（0）=0，
∴F（x）在[0，+∞）上是增函数，又F（0）=0，
∴F（x）≥0，得到：f（x）≥

1

2

x²+1．
又m≥0，n≥0，故f（m）≥

1

2

m²+1，f（n）≥

1

2

n²+1，
∴f（m）+f（n）≥

m2+n2

2

+2≥mn+2，（当且仅当m=n=0时等号成立）．

点评：本题考察了函数的单调性，切线的方程，参数的范围，考察导数的应用，是一道综合题．