Question

已知M（0，

3

），N（0，-

3

），G（x，y），直线MG与NG的斜率之积等于-

3

4

．
（Ⅰ）求点G的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）过点P（0，3）作一条与轨迹Γ相交的直线l．设交点为A，B．若点A，B均位于y轴的右侧，且

BA

=

AP

，请求出x轴上满足|QP|=|QB|的点Q的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由直线MG与NG的斜率之积等于-

3

4

，得

y- 3

x

•

y+ 3

x

=-

3

4

，由此能求出得点G的轨迹Γ的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+3，联立方程组

y=kx+3 3x2+4y2=12

，得（4k²+3）x²+24kx+24=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出点Q的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）∵M（0，

3

），N（0，-

3

），G（x，y），
∴kMG=

y- 3

x

，kNG=

y+ 3

x

，x≠0，
∵直线MG与NG的斜率之积等于-

3

4

，
∴

y- 3

x

•

y+ 3

x

=-

3

4

，x≠0，
化简，得点G的轨迹Γ的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．（x≠0）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+3，k＜0
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞0，x₂＞0），
∵

BA

=

AP

，P（0，3），∴x₂=2x₁，①
联立方程组

y=kx+3 3x2+4y2=12

，得（4k²+3）x²+24kx+24=0，（*）
∴x1+x2=

-24k

4k2+3

，②，x1x2=

24

4k2+3

，③
由①得x1x2=

2

9

(x1+x2)2，又由②③得(

-8k

4k2+3

)2=

12

4k2+3

，
∴k2=

9

4

，k=±

3

2

，
∵x₁＞0，x₂＞0，∴x1+x2=

-24k

4k2+3

＞0，
k＜0，∴k=-

3

2

，
当k=-

3

2

时，方程（*）化为x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，∴B（2，0），A（1，

3

2

），
设Q（m，0），∵|QP|=|QB|，∴m²+9=（m-2）²，解得m=-

5

4

，
∴Q（-

5

4

，0）．

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．