Question

已知椭圆C的两个焦点是F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），点B（

2

，

3

3

）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的下顶点为A，直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与椭圆C交于不同两点M，N，当|

AM

|=|

AN

|时，求m的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的两个焦点是F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），点B（

2

，

3

3

）在椭圆C上，确定几何量，从而可得椭圆的方程；
（2）设P为弦MN的中点，直线与椭圆方程联立得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，可得m²＜3k²+1，|AM|=||AN|，可得AP⊥MN，由此可推导出m的取值范围．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知，c=

2

，即a²-b²=2．
由定义|BF₁|+|BF₂|=2a，得a=

3

，∴b=1．
故椭圆C的方程

x2

3

+y2=1．
（2）设P（x_P，y_P）、M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N），P为弦MN的中点，
直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）＞0，∴m²＜3k²+1，①
由韦达定理，可得P（

-3km

1+3k2

，

m

1+3k2

）
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，
∴-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1②
把②代入①得2m＞m²解得0＜m＜2
∵2m=3k²+1＞1，∴m＞

1

2

∴

1

2

＜m＜2．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．