Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，M，N分别是A₁C₁，BC₁的中点．
（1）求证：MN∥平面A₁ABB₁；
（2）求多面体M-B₁C₁B的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用线面平行的判定，MN∥A₁B，）∴MN∥平面A₁ABB₁；
（2）等积转化，VM-B1C1B=VB-B1C1M=

1

3

BB1•S△B1C1M．

解答： （本小题满分12分）
（1）证：连接A₁B，由M，N分别是A₁C₁，BC₁的中点
．∴MN∥A₁B…（3分）A₁B

? ≠

平面A₁ABB₁，MN?平面A₁ABB₁，…（5分）∴MN∥平面A₁ABB₁…（6分）
（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁C₁，…（8分）
又M是A₁C₁的中点．…（9分）
∴VM-B1C1B=VB-B1C1M=

1

3

BB1•S△B1C1M…（10分）
=

1

3

BB1•

1

2

S△A1B1C1=

1

6

×2×

1

2

×2×2=

2

3

…（12分）

点评：本题考查线面平行，三棱锥的体积，考查空间想象能力和运算能力．