Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥底面ABC，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求四面体B₁C₁CD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结BC₁，设BC₁与B₁C的交点为E，连接DE，证得DE∥AC₁；由线面平行的判定定理即可证明AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，可以证明DF是三棱锥D-CC₁B₁的高，再由锥体体积公式即可求解．

解答： （Ⅰ）证明：连结BC₁，设BC₁与B₁C的交点为E，连结DE．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CC₁⊥底面ABC，
CC₁=BC=2，
∴四边形BCC₁B₁为正方形．
∴E为BC₁中点．
∵D是AB的中点，
∴DE∥AC₁．
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．                                                    （4分）
（Ⅱ）解：在平面ABC内作DF⊥BC于点F，
∵CC₁⊥平面ACB
DF?平面ACB，
∴CC₁⊥DF．
∵BC∩CC₁=C
∴DF⊥平面BCC₁B₁．
∴DF是三棱锥D-CC₁B₁的高，
∵AC=BC=CC₁=2
∴S△B1C1C=2，DF=1．
∴四面体B₁C₁CD的体积为VD-B1C1C=

1

3

S△B1C1C•h=

2

3

．                     （9分）

点评：本题考查线面平行的判定定理、空间几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．