Question

已知

a

=（2cosx+2

3

sinx，1），

b

=（y，cosx），且

a

∥

b

．
（1）将y表示成x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=3，

BA

•

BC

=

9

2

，且a+c=3+

3

，求边长b．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理、倍角公式、两角和差的正弦公式及其三角函数的周期计算公式即可得出．
（2）由f（B）=3，利用（1）可得B=

π

6

．再利用数量积运算可得accosB=

9

2

，即ac=3

3

．再利用余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，
∴y=(2cosx+2

3

sinx)cosx
=2cos2x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x+1
=2sin(2x+

π

6

)+1，
即f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1，
∴T=

2π

2

=π．即f（x）的最小正周期为π．
（2）由f（B）=3，得2sin(2B+

π

6

)+1=3，化为sin(2B+

π

6

)=1，
∴2B+

π

6

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，只能取k=0，解得B=

π

6

．
∵

BA

•

BC

=

9

2

，∴accosB=

9

2

，
∴

3

2

ac=

9

2

，化为ac=3

3

．
联立

a+c=3+ 3 ac=3 3

，
解得

a=3 c= 3

或

a= 3 c=3

由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=32+(

3

)2-6

3

×

3

2

=3，
∴b=

3

．

点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、两角和差的正弦公式及其三角函数的周期计算公式、数量积运算、余弦定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．