Question

已知数列{a_n}中，a₁=-

2

3

，其前n项和S_n满足a_n=S_n+

1

Sn

+2（n≥2），计算S₁，S₂，S₃，S₄，猜想S_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：a₁=-

2

3

，其前n项和S_n满足a_n=S_n+

1

Sn

+2，令n=2，由此求出S₂．同理，求得S₃，S₄．猜想S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊，然后利用数学归纳法进行证明．

解答： 解　当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=S_n+

1

Sn

+2．
∴S_n=-

1

Sn-1+2

（n≥2）．则有：S₁=a₁=-

2

3

，S₂=-

1

S1+2

=-

3

4

，S₃=-

1

S2+2

=-

4

5

，
S₄=-

1

S3+2

=-

5

6

，由此猜想：S_n=-

n+1

n+2

（n∈N^*）．
用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，S₁=-

2

3

=a₁，猜想成立．（2）假设n=k（k∈N^*）猜想成立，即S_k=-

k+1

k+2

成立，
那么n=k+1时，S_k+1=-

1

Sk+2

=-

1

- k+1 k+2 +2

=-

k+2

k+3

=-．即n=k+1时猜想成立．
由（1）（2）可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．