Question

已知f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x
（1）求f（x）的对称轴及对称中心；
（2）若f（α）=

3

5

，2α是第二象限角，求sin2α的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）将三角函数进行化简，根据三角函数的图象和性质即可求f（x）的对称轴及对称中心；
（2）利用三角函数的倍角公式进行化简即可得到结论．

解答： 解：f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin2x-cos2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)
（1）由2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，得x=

π

12

+

kπ

2

；
由 2x-

π

6

=kπ得x=

π

12

+

kπ

2

，
故f（x）的对称轴为x=

π

12

+

kπ

2

；对称中心为（

π

12

+

kπ

2

，0）．
（2）若f(α)=

3

5

，即sin(2α-

π

6

)=

3

5

，
则cos(2α-

π

6

)=±

1-sin2(2α- π 6 )

=±

4

5

又2α在第二象限，即2α∈(2kπ+

π

2

，2k+π)，k∈Z，
则2α-

π

6

∈(2kπ+

π

3

，2k+

5

6

π)，k∈Z，
从而有-

3

2

＜cos(2α-

π

6

)＜

1

2

所以cos(2α-

π

6

)=-

4

5

，
故sin2α=sin[(2α-

π

6

)+

π

6

]=sin(2α-

π

6

)cos

π

6

+cos(2α-

π

6

)sin

π

6

=

3 3 -4

10

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及三角函数求值，利用三角公式进行化简是解决本题的关键．要求熟练掌握三角函数的图象和性质．