Question

已知椭圆F：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，

3

2

）两点．
（I）求椭圆F的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，点O为坐标原点，设射线OG交F于点Q，且

OQ

=2

OG

．
①证明：4m²=4k²+1；
②求△AOB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

4 a2 =1 1 a2 + 3 4b2 =1

，由此能示出椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2+4y2-4=0

，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明4m²=1+4k²．
②由已知条件得m≠0，|x₁-x₂|=

( -8km 1+4k2 )2-4× 4m2-4 1+4k2

=

4 1+4k2-m2

1+4k2

，由此能求出△AOB的面积．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆F：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，

3

2

）两点，
∴

4 a2 =1 1 a2 + 3 4b2 =1

，解得

a=2 b=1

，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）①证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2+4y2-4=0

，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴

△=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)＞0 x1+x2= -8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2

，即

m2＜1+4k2 x1+x2= -8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2

，（1）
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

k(-8km)

1+4k2

+2m=

2m

1+4k2

，
又由中点坐标公式，得G(

-4km

1+4k2

，

m

1+4k2

)，
将Q（

-8km

1+4k2

，

2m

1+4k2

）代入椭圆方程，得

16k2m2

(1+4k2)2

+

4m2

(1+4k2)2

=1，
化简，得4m²=1+4k²，（2）．
②解：由（1），（2）得m≠0，
且|x₁-x₂|=

( -8km 1+4k2 )2-4× 4m2-4 1+4k2

=

4 1+4k2-m2

1+4k2

，（3）
在△AOB中，S△AOB=

1

2

|m|•|x1-x2|，（4）
结合（2）、（3）、（4），得S_△AOB=

2 3 m2

4m2

=

3

2

，
∴△AOB的面积是

3

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查方程的证明，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．