Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄
（2）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，4，能够求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式：a_n=2ⁿ-1，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： 解：（1）因为S_n=2a_n-n，
所以a₁=1，a₂=3，a₃=7，a₄=15；
（2）猜想 a_n=2ⁿ-1
证明：①n=1时成立
②假设n=k时成立，即a_k=2^k-1
则n=k+1时，S_k+1=2a_k+1-（k+1），又S_k=2a_k-k
两式相减得：a_k+1=2a_k+1
由假设及上式得：ak+1=2(2k-1)+1
即：ak+1=2k+1-1
所以n=k+1时也成立
由①②知a_n=2ⁿ-1，n∈N₊时成立

点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式．