Question

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：（1）f（x）在[a，b]内是单调函数；（2）f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“和谐k区间”．
（Ⅰ）试判断函数g（x）=x²，h（x）=lnx是否存在“和谐2区间”，若存在，找出一个符合条件的区间；若不存在，说明理由．
（Ⅱ）若函数f（x）=e^x存在“和谐k区间”，求正整数k的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）函数g（x）=x²存在“和谐2区间”，如区间[0，2]；函数h（x）=lnx不存在“和谐2区间”．利用反证法结合“和谐k区间”的定义可证得结论；
（II）由于函数f（x）=e^x为R上的增函数，若f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则必有f（a）=ka，f（b）=kb，所以a，b为方程f（x）=kx的两个不等根，进而可得正整数k的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）函数g（x）=x²存在“和谐2区间”，如区间[0，2]；
函数h（x）=lnx不存在“和谐2区间”．…（2分）
下用反证法证明：
若函数h（x）=lnx存在“和谐2区间”[a，b]，
由于h（x）=lnx在区间（0，+∞）上单调递增，
所以h（a）=2a，h（b）=2b，
所以a，b为方程h（x）=2x的两个不等根，
令φ（x）=h（x）-2x=lnx-2x，则φ′(x)=

1

x

-2=

1-2x

x

，
由φ'（x）＞0，得x∈(0，

1

2

)，由φ'（x）＜0得x∈(

1

2

，+∞)，
所以φ（x）在(0，

1

2

)单调递增，在(

1

2

，+∞)单调递减，
所以φ(x)≤φ(

1

2

)=ln

1

2

-1＜0，即h（x）＜2x恒成立，
故函数h（x）=lnx不存在“和谐2区间”．…（6分）
（Ⅱ）由于函数f（x）=e^x为R上的增函数，
若f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则必有f（a）=ka，f（b）=kb，
所以a，b为方程f（x）=kx的两个不等根，…（8分）
令v（x）=f（x）-kx=e^x-kx（k∈N^*），
则v'（x）=e^x-k，
由v'（x）=e^x-k＞0知x＞lnk，
由v'（x）=e^x-k＜0知0＜x＜lnk，
所以函数v（x）在区间（-∞，lnk）单调递减，在区间（lnk，+∞）上单调递增，
所以v（x）≥v（lnk）．…（10分）
由于v（x）在R上有两个零点，
所以v（lnk）=e^lnk-klnk=k（1-lnk）＜0，
所以k＞e，又k为正整数，所以k的最小值为3．…（12分）

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值，其中正确理解“和谐k区间”的概念是解答的关键．