Question

已知数列{a_n}是递增的等比数列，满足a₁=4，且

5

4

a3是a2、a4的等差中项，数列{b_n}满足b_n+1=b_n+1，其前n项和为s_n，且S₂+S₆=a₄
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（2）数列{a_n}的前n项和为T_n，若不等式nlog₂（T_n+4）-λb_n+7≥3n对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用

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a3是a2、a4的等差中项，求出公比，可求数列{a_n}的通项公式；数列{b_n}为等差数列，公差d=1，可求数列{b_n}的通项公式；
（2）不等式nlog₂（T_n+4）-λb_n+7≥3n化为n²-n+7≥λ（n+1），可得λ≤

n2-n+7

n+1

对一切n∈N^*恒成立，利用不等式，即可得出结论．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则q＞1，an=4qn-1
∵

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4

a3是a₂和a₄的等差中项，
∴2×

5

4

a3=a2+a4即2q2-5q+2=0，
∵q＞1，∴q=2，∴an=4•2n-1=2n+1
依题意，数列{b_n}为等差数列，公差d=1
又s2+s6=32∴(2b1+1)+6b1+

6×5

2

=32，
∴b₁=2，∴b_n=n+1…（6分）
（2）∵an=2n+1∴Tn=

4(2n-1)

2-1

=2n+2-4．
不等式nlog₂（T_n+4）-λb_n+7≥3n化为n²-n+7≥λ（n+1）
∵n∈N^*…（9分）
∴λ≤

n2-n+7

n+1

对一切n∈N^*恒成立．
而

n2-n+7

n+1

=

(n+1)2-3(n+1)+9

n+1

=(n+1)+(

9

n+1

)-3≥2

(n+1)• 9 (n+1)

-3=3
当且仅当n+1=

9

n+1

，
即n=2时等式成立，
∴λ≤3…（12分）

点评：本题考查数列的通项于求和，着重考查等比数列的通项公式的应用，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．