Question

如图直三棱柱中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点，
（Ⅰ）证明：DE⊥平面BCC₁
（Ⅱ）设B₁C与平面BCD所成角的大小为30°，求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件得DAFE是平行四边形，从而AF∥DE．由已知条件能证明AF⊥平面BCC₁．由此能证明DE⊥平面BCC₁．
（Ⅱ）以AB，AC，AD所在直线为x、v、z轴建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出二面角A-BD-C的大小．

解答： （Ⅰ）证明：取BC中点F，连接AF，EF，则AD

∥

.

1

2

BB1．EF

∥

.

1

2

BB1．
∴AD

∥

.

EF，∴DAFE是平行四边形，
∴AF∥DE．
∵直三棱柱中，CC₁⊥平面ABC，AF?平面ABC，
∴AF⊥CC₁，
∵AB=AC，F是BC中点，∴AF⊥BC，
∵BC∩CC₁=C，∴AF⊥平面BCC₁．
∴DE⊥平面BCC₁．（4分）
（Ⅱ）解：以AB，AC，AD所在直线
为x、v、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=1，AD=a，B（1，0，0）、
C（0，1，0）、D（0，0，a）、
B₁（1，0，2a）．
∴

BC

=（-1，1，0），

BD

=（-1，0，a），
设平面BCD的一个法向量

n

=（x，y，z），
则由

n

⊥

BC

，

n

⊥

BD

，得

y-x=0 az-x=0

，
令z=1得

n

=（a，a，1）．

CB1

=（1，-1，2a），
∴sin30°=|cos＜

n

，

CB1

＞|．得a=

2

2

，
∴

n

=(

2

2

，

2

2

，1)，平面ABD法向量为

AC

=（0，1，0），
cos＜

n

，

AC

＞=

1

2

，
∴所求二面角的大小为60°．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．