Question

已知点Q为直线x=-4上的动点，过点Q作直线l垂直于y轴，动点P在l上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记动点P的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设A，B为曲线C上两点，且直线AB与x轴不垂直，若线段AB中点的横坐标为2，求证：线段AB的垂直平分线过定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件设Q（-4，y），P（x，y），由OP⊥OQ（O为坐标原点），知

OP

•

OQ

=（x，y）（-4，y）=-4x+y²=0，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+b代入抛物线方程，消元可得k²x²+（2bk-4）+b²=0，由已知条件推导出AB的垂直平分线方程为：y-（2k+b）=-

1

k

（x-2），由此能证明线段AB的垂直平分线恰过定点．

解答： （Ⅰ）解：∵点Q为直线x=-4上的动点，∴设Q（-4，y），
∵过点Q作直线l垂直于y轴，动点P在l上，∴设P（x，y），
∵OP⊥OQ（O为坐标原点），
∴

OP

•

OQ

=（x，y）（-4，y）=-4x+y²=0，
∵动点P的轨迹为C，
∴曲线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）证明：设A，B的坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB不与x轴垂直，
∴设直线AB的方程为y=kx+b代入抛物线方程，消元可得k²x²+（2bk-4）+b²=0
∴x₁+x₂=

4-2bk

k2

，
∵线段AB中点的横坐标为2，∴

4-2bk

k2

=4，
∴b=

2-2k2

k

，
∵线段AB中点的坐标为（2，2k+b）
∴AB的垂直平分线方程为：y-（2k+b）=-

1

k

（x-2）
∵b=

2-2k2

k

，∴方程可化为x+4y-4=0，显然过定点（4，0）
∴线段AB的垂直平分线恰过定点．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查线段的垂直平分线恰好过定点的证明，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．