Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（-1）=0，且对任意实数x，都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，f（x）≤

1

4

（x+1）²．
（1）求f（1）的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）若x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx是单调的，则求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得当x=1时，有1≤f（1）≤1，即f（1）=1，
（2）f（-1）=0，f（1）=1，解得a+c=b=

1

2

，ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），对于一切实数x恒成立，

a＞0 ac≥ 1 16

再由基本不等式可得当且只有当a=c=

1

4

时，满足题意，进而可得解析式．
（3）f （x）是单调的，所以g （x）的顶点一定在[-1，1]的外边．得到|

2-4m

2

|≥1，解得m的范围即可．

解答： 解：（1）∵对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，f（x）≤

1

4

（x+1）²．
∴当x=1时，有1≤f（1）≤1
即f（1）=1，
（2）∵f（-1）=0，f（1）=1，
∴

a-b+c=0 a+b+c=1

，
解得a+c=b=

1

2

，
又∵对于一切实数x，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），对于一切实数x恒成立，
∴

a＞0 (b-1)2-4ac≤0

，
即

a＞0 ac≥ 1 16

∵a+c=

1

2

，且a+c≥2

ac

=

1

2

，
∴当且只有当a=c=

1

4

时，不等式成立，
∴f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

（3）g（x）=f （x）-mx=

1

4

[x²+（2-4m）x+1]．
当x∈[-1，1]时，f （x）是单调的，所以g （x）的顶点一定在[-1，1]的外边．
∴|

2-4m

2

|≥1
解得m≤0，或m≥1
故m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）

点评：本题考查函数解析式的求解，二次函数的性质，函数的恒成立问题，以及不等式的证法，属中档题．