Question

已知函数f（x）=a（x²-1）-xlnx
（Ⅰ）若F（x）=f′（x），当a=

1

2

时，求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）当a=

1

2

时，f(x)=

1

2

(x2-1)-xlnx，由F（x）=f'（x）=x-lnx-1．得F′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，令F'（x）=0，得x=1，从而F（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．
（II）f'（x）=2ax-lnx-1，由（I）知F（x）_min=F（1）=0，分别讨论①若a＞

1

2

，②若0＜a＜

1

2

，③若a≤0时的情况，从而求出a的范围．

解答： 解：（I）当a=

1

2

时，f(x)=

1

2

(x2-1)-xlnx，
∵F（x）=f'（x）=x-lnx-1．
∴F′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，令F'（x）=0，得x=1，
当x∈（0，1）时，F'（x）＜0，函数F（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，函数F（x）是增函数．
∴F（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．
（II）f'（x）=2ax-lnx-1，
由（I）知F（x）_min=F（1）=0，
①若a＞

1

2

，f'（x）=（2a-1）x+（x-lnx-1）＞0，f（x）是增函数；
若a=

1

2

，f'（x）=x-lnx-1≥0，f（x）是增函数．
∴a≥

1

2

，f（x）≥f（1）=0，不等式恒成立．
②若0＜a＜

1

2

，设h(x)=2ax-lnx-1，h′(x)=2a-

1

x

，
当x∈(1，

1

2a

)时，h'（x）＜0，函数h（x）是减函数，
则f'（x）=h（x）＜h（1）=2a-1＜0，f（x）在(1，

1

2a

)上是减函数，
这时f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．
③若a≤0，则当x∈（1，+∞）时，f（x）在（1，+∞）上是减函数，
此时f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．
综上，a的取值范围是[

1

2

，+∞)．

点评：本题考查了函数的单调性，求参数的范围问题，考查导数的应用，是一道综合题．