Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x．
（I）若a=1，求f（x）在区间[0，3]上的值域；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+ax²-a²x，求函数g（x）的极值点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=x²-3x+2=0，从而得出f（x）在（-∞，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减，进而求出f（x）∈[0，

3

2

]；
（Ⅱ）由g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+ax，得g′（x）=x²-x+a，由△=1-4a≤0，得a≥

1

4

，得g（x）在R上单调递增，函数无极值；当a＜

1

4

时，g（x）在（-∞，

1- 1-4a

2

）上递增，（

1- 1-4a

2

，

1+ 1-4a

2

）上递减，（

1+ 1-4a

2

，+∞）上递增，极大值点为

1- 1-4a

2

，极小值点为

1+ 1-4a

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=x²-3x+2=0，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减，
又f（0）=0，f（1）=

5

6

，f（2）=

2

3

，f（3）=

3

2

，
∴f（x）∈[0，

3

2

]；
（Ⅱ）∵g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+ax，
∴g′（x）=x²-x+a，
由△=1-4a≤0，得a≥

1

4

，g′（x）≥0恒成立，g（x）在R上单调递增，函数无极值；
当a＜

1

4

时，g（x）在（-∞，

1- 1-4a

2

）上递增，（

1- 1-4a

2

，

1+ 1-4a

2

）上递减，（

1+ 1-4a

2

，+∞）上递增，
极大值点为

1- 1-4a

2

，极小值点为

1+ 1-4a

2

．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，考察导数的应用，是一道综合题．