Question

设A，B分别为椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点，F为右焦点，l为Γ在点B处的切线，P为Γ上异于A，B的一点，直线AP交l于D，M为BD中点，有如下结论：
①FM平分∠PFB；     
②PM与椭圆Γ相切；
③PM平分∠FPD；    
④使得PM=BM的点P不存在．
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：不妨取P为上顶点，验证知①②成立，于是PM平分∠BPD，故③不成立；若PA⊥PB，则PM为Rt△BDP的斜边中线，PM=BM，这样的P有4个，故④不成立．

解答： 解：不妨取P为上顶点，则P（0，b），M（a，b），F（c，0），则
k_FM=

b

a-c

，k_PF=-

b

c

，∴tan∠PFM=

- b c - b a-c

1+(- b c )• b a-c

=

b

a-c

，
∴∠PFM=∠MFB，∴FM平分∠PFB，即①成立；
由于P（0，b），M（a，b），∴PM与椭圆Γ相切，即②成立；
于是PM平分∠BPD，故③不成立；
若PA⊥PB，则PM为Rt△BDP的斜边中线，PM=BM，这样的P有4个，故④不成立．
故答案为：①②．

点评：本题考查椭圆的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．