Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且满足AD=DC=CB=

1

2

AB=a，在直角梯形ACEF中，EF∥

1

2

AC，∠ECA=90°，已知二面角E-AC-B是直二面角．
（Ⅰ）求证：BC⊥AF；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB的中点G，连结CG，证明BC⊥AF，只需证明BC⊥平面ACEF，证明AC⊥BC，利用二面角E-AC-B是直二面角，即可证明；
（Ⅱ）连结DG交AC于H，连结FH，证明DH⊥面ACEF，利用V_D-ACEF+V_B-ACEF，求出多面体ABCDEF的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取AB的中点G，连结CG．由底面ABCD是梯形，知DC∥AG．
又∵DC=

1

2

AB=AG=a，
∴四边形ADCG是平行四边形，得AD=CG=a，
∴CG=

1

2

AB．
∴AC⊥BC．
又∵二面角E-AC-B是直二面角，即平面ACEF⊥平面ABCD，
∴BC⊥平面ACEF．
∴BC⊥AF．…（6分）
（Ⅱ）解：连结DG交AC于H，连结FH．
∵平面ACEF⊥平面ABCD，
由（Ⅰ）知BC⊥面ACEF，DH∥BC，
∴DH⊥面ACEF．
即BC、DH分别是四棱锥B-ACEF、D-ACEF的高．
在Rt△ACB中，AC=

4a2-a2

=

3

a，EF=

3

2

a．
由EF∥

1

2

AC∥CH，且∠ACE=90°，知四边形HCEF是矩形，
∴FH∥EC，于是FH⊥AH．
在Rt△FAH中，CE=FH=

AF2-AH2

=

a2-( 3 2 a)2

=

1

2

a．
∴S四边形ACEF=

1

2

(EF+AC)•CE=

1

2

(

3

2

a+

3

a)•

a

2

=

3 3 a2

8

，
∴V=V_D-ACEF+V_B-ACEF=

1

3

×

3 3 a2

8

×a+

1

3

×

3 3 a2

8

×

a

2

=

3 3

16

a3．…（12分）

点评：本题考查线面垂直，线线垂直，考查空间角，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．