Question

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，若Sn=

n(a1+an)

2

，
（Ⅰ）求证：{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若a＞0且a₂=2a+1，S₅=5（3a+1），求证：

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+

1

a 2 n

＜

n

(1+ a 2 )(1+ 2n+1 2 a)

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：

分析：（Ⅰ）再写一式，两式相减，即可证明{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）利用数学归纳法证明．

解答： 证明：（Ⅰ）当n≥2时，Sn=

n(a1+an)

2

①，Sn-1=

(n-1)(a1+an-1)

2

②
①-②得：an=

n(a1+an)

2

-

(n-1)(a1+an-1)

2

∴2a_n=na_n-（n-1）a_n-1+a₁③…（2分）2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n+a₁④
④-③得：2a_n+1-2a_n=（n+1）a_n+1-2na_n+（n-1）a_n-1…（3分）
∴（n-1）a_n+1+（n-1）a_n-1=2（n-1）a_n…（4分）
即：a_n+1+a_n-1=2a_n
∴{a_n}是等差数列；…（5分）
（Ⅱ）①当n=1时，

1

a 2 1

=

1

(1+a)2

＜

1

(1+ a 2 )(1+ 3 2 a)

不等式成立，…（6分）
②假设n=k（k≥1）时，不等式成立，
即

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+

1

a 2 k

＜

k

(1+ a 2 )(1+ 2k+1 2 a)

…（7分）
那么n=k+1时，

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+

1

a 2 k

+

1

a 2 k+1

＜

k

(1+ a 2 )(1+ 2k+1 2 a)

+

1

[1+a(k+1)]2

…（8分）＜

k

(1+ a 2 )(1+ 2k+1 2 a)

+

1

(1+ 2k+1 2 a)(1+ 2k+3 2 a)

=

k(1+ 2k+3 2 a)+1+ a 2

(1+ a 2 )(1+ 2k+1 2 a)(1+ 2k+3 2 a)

=

(k+1)(1+ 2k+1 2 a)

(1+ a 2 )(1+ 2k+1 2 a)(1+ 2k+3 2 a)

=

k+1

(1+ a 2 )(1+ 2k+3 2 a)

…（11分）
即n=k+1时，不等式也成立，
由①②得，不等式恒成立．…（12分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用数学归纳法是关键．