Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（1，

3

2

），且右焦点为F₂（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀）是椭圆C上的一个动点，过F₂作与PF₂垂直的直线l₂，直线l₂与直线l₁：

x0x

a2

+

y0y

b2

=0相交于点Q，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

a2-b2=1 1 a2 + 9 4b2 =1

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由P（x₀，y₀），F₂（1，0），知kPF2=

y0

x0-1

，设Q（x，y），则kQF2=

y

x-1

，由PF₂⊥QF₂，能求出点Q的轨迹方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（1，

3

2

），且右焦点为F₂（1，0），
∴

a2-b2=1 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵P（x₀，y₀），F₂（1，0），∴kPF2=

y0

x0-1

，
设Q（x，y），则kQF2=

y

x-1

，
∵过F₂作与PF₂垂直的直线l₂，直线l₂与直线l₁：

x0x

a2

+

y0y

b2

=0相交于点Q，
∴PF₂⊥QF₂，
∴kPF2•kQF2=

y0

x0-1

•

y

x-1

=-1，
整理，得：（x₀-1）x+y₀y-x₀+1=0．
∴点Q的轨迹方程为（x₀-1）x+y₀y-x₀+1=0．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．