Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，点（n，S_n）在曲线f（x）=x²-4x（x∈N^*）上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•2^n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题意可得Sn=n2-4n（n∈N^*），利用递推公式a_n=S_n-S_n-1，可求．
（2）由b_n=a_n•2^n-1，得b_n=（2n-5）•2^n-1，利用错位相减法可求数列的和．

解答： 解：（1）由点（n，S_n）在曲线f（x）=x²-4x上（x∈N⁺）知Sn=n2-4n（n∈N^*）
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=n²-4n-[（n-1）²-4（n-1）]=2n-5；   
当n=1时，a₁=S₁=-3，满足上式；
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-5（n∈N）
（2）∵b_n=a_n•2^n-1，a_n=2n-5（n∈N）
∴b_n=（2n-5）•2^n-1，
∴Tn=-3×20+(-1)×21+1×22+…+(2n-5)×2n-1①
上式两边乘以2，得
2Tn=-3×21+(-1)×22+1×23+…+(2n-5)×2n②
①-②得，

-Tn=-3×20+2(21+22+…+2n-1)-(2n-5)×2n =-3×20+ 22(1-2n-1) 1-2 -(2n-5)×2n

解得，Tn=(2n-7)×2n+7．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和的重要方法，要注意掌握．