Question

已知函数f（x）=asinx+cosx，a∈R；
（Ⅰ）求在点（

π

2

，1）的切线方程；
（Ⅱ）若a=f′（

π

2

），求f（

π

4

）的值．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）先求导，再代入切点，求出斜率，问题得以解决．
（Ⅱ）先利用导数求a的值，再求f（

π

4

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=asinx+cosx，
∴f（

π

2

）=asin

π

2

+cos

π

2

=1，
解得，a=1
∴f′（x）=cosx-sinx，
∴k=f′（

π

2

）=cos

π

2

-sin

π

2

=-1，
故切线方程为y-1=-（x-

π

2

），
即x+y-1-

π

2

=0．
（Ⅱ）∵f′（x）=acosx-sinx，
∴f′（

π

2

）=acos

π

2

-sin

π

2

=-1=a
∴a=-1，
∴f（

π

4

）=-sin

π

4

+cos

π

4

=0．

点评：本试题主要是考查了三角函数中导数几何意义的运用，以及导数的运算．